Pazar günü için büyük okuma parçası: Sonsuzluğu çalan adam

Matematik, çoğu insana “korkutucu”, “soyut”, “soğuk” ve “uzak” bir şey gibi görünebilir.

Ama unutmayın, matematiği yapanlar da insan. Onların da duyguları, hırsları, korkuları, endişeleri var.

Amerikan popüler bilim dergisi Quanta’dan Joseph Howlett, matematik tarihinden inanılmaz güzellikte bir insan hikayesi yazdı geçen ay.

Bulduğu “kümeler kuramı” ile modern matematiğin temellerini atan Alman matematikçi Georg Cantor, matematikte binlerce yıldır yer alan “sonsuzluk” kavramını da sonsuza kadar değiştiren isim olarak bilinir.

Cantor, bundan 150 yıl önce, 1874’te bazı sonsuzlukların diğer sonsuzluklardan daha büyük olduğunu kanıtlamıştı. Bu kanıt sayesinde sonsuzluk kavramı birden bire matematikçilerin sıkıştığında başvurduğu bir kelime oyunu olmaktan çıkıp matematiksel bir gerçeğe dönüşmüştü.

Bugüne kadar bildiğimiz, bu keşfi Georg Cantor’un tek başına yaptığıydı. Oysa şimdi Quanta dergisindeki bir polisiye tadındaki öyküden öğreniyoruz ki, Cantor bu işi tek başına yapmamıştı.

Bu pazar okumanız için size bilim tarihinden 150 yıllık bir “aşırma” hikayesi.

İyi okumalar:

***

Demian Goos, geçen yıl 12 Mart’ta Karin Richter’ı ofisine kadar takip ettiğinde, odada ilk fark ettiği şey bir büsttü. Odanın köşesindeki yüksek bir kaidenin üzerinde duran büst, kel, yaşlı ve vakur bir beyefendiyi tasvir ediyordu. Goos, bir yıldan fazla bir süredir onu meşgul eden endişeli, yalnız adamın izine rastlamadı.

Büst, tarihin onu gördüğü haliyle Georg Cantor’du. Bir entelektüel dev: Kararlı, güçlü iradeli, meslektaşlarının gürültülü itirazlarına rağmen matematiksel bir devrim gerçekleştiren adam.

Cantor, devrimini 150 yıl önce Almanya’daki Halle Üniversitesi’nde başlattı. Burada, 1874’te, matematiğin 4000 yıllık tarihindeki en önemli makalelerden birini yayınladı. 

Bu makale, uzun zamandır her ne pahasına olursa olsun kaçınılması gereken matematiksel bir kötülük olarak görülen bir kavramı kristalize etti: sonsuzluk. 

Bu olay, matematikçileri en uzun süredir savundukları bazı varsayımları sorgulamaya zorladı ve matematiği temellerinden sarstı. Ve sonunda tüm konunun yeniden yazılmasına yol açacak yeni bir çalışma alanının doğmasına neden oldu.

Demien Goos, kimsenin hoşuna gitmeyecek bir bilim haberinin peşine düştü.

Şimdi, 35 yaşında bir matematikçi ve gazeteci olan Goos, Cantor’un mirasından bazı mektuplara bakmak için Mainz’deki evinden beş saatlik tren yolculuğu mesafesindeki Halle’ye gelmişti. Mektuplarda neler yazılı olduğundan zaten oldukça emindi. Ama onları şahsen görmek istiyordu.

Tıpkı Cantor gibi tüm kariyerini burada, önce araştırma matematikçisi olarak, daha sonra emekli olduktan sonra matematik tarihi üzerine öğretim görevlisi olarak geçiren Richter, Goos’a oturmasını işaret etti. Masasının üzerindeki dağınık kitap ve kağıt yığınlarının arasından ince mavi bir klasör kaldırdı. İçinde, her biri eski, el yazısıyla yazılmış bir mektup içeren düzinelerce plastik dosya koruyucu vardı.

Goos, uzun zaman önce kaybolmuş bir mezara giren bir arkeoloğun heyecanıyla mektupları incelemeye başladı. Sonra belirli bir sayfaya geldi ve donakaldı. Nefes almakta zorlandı.

Yazı değildi sorun. Cantor üzerine yaptığı araştırmanın bu noktasında, Almanların 1900 civarına kadar kullandığı, kurrentschrift olarak bilinen garip, neredeyse çözülemeyen Gotik yazıya alışmıştı.

İmza da değildi sorun. Alman matematikçi Richard Dedekind’in, Cantor’un sonsuzluğu anlama ve matematiğin temellerini sağlamlaştırma arayışında önemli bir rol oynadığını ve ikisinin birçok mektup alışverişinde bulunduğunu biliyordu.

Tarihti sorun: 30 Kasım 1873.

Bu mektubu daha önce hiç görmemişti. Kimse görmemişti. İkinci Dünya Savaşı’nın kargaşasında kaybolduğuna, belki de Cantor’un kendisi tarafından yok edildiğine inanılıyordu.

Bu, Cantor’un mirasını yeniden yazma gücüne sahip olan mektuptu. 

Cantor’un 1874’te yayımlanan ve tüm matematiği yeniden şekillendirecek olan ünlü makalesinin bir intihal olduğunu kesin olarak kanıtlayan mektup.

Gersau gölünün kıyısında iki dev matematikçi şans eseri karşılaştı ve müthiş bir iş birliği başladı.

Zihinlerin Buluşması

Cantor, 1845’te Rusya’nın St. Petersburg şehrinde doğdu. 11 yaşındayken babası hastalandı ve aile, tehlikeli Rus kışlarından kaçmak için Almanya’ya taşındı. Cantor hayatının tamamını orada geçirdi ve sonunda aksanının izlerini tamamen kaybetti. Ancak sonradan sahip olduğu bu yeni ülkede hiçbir zaman tam olarak rahat hissetmedi.

Cantor’un babası kötüleşmeye devam ederken, tüm umutlarını altı çocuğunun en büyüğüne bağladı. Cantor’un vaftizi için babası, 15 yaşındaki oğluna bir mektup yazarak, birçok yetenekli gencin fikirlerine direnenler tarafından yenilgiye uğratıldığını ve yalnızca sarsılmaz bir dini inancın onu “sözde mahvolmuş bir dahi” olmaktan kurtarabileceğini söyledi. “Bilimin ufkunda parlayan bir yıldız” olarak potansiyeline ulaşabilmek için, eleştirmenlerinin karşısında yılmadan mücadele etmesi gerekiyordu.

Cantor, babasının mektubunu hayatının geri kalanında yanında taşıdı. Entelektüel direnişin kahramanca görüşünü içselleştirdi ve kısa süre sonra kendi yeteneğini yönlendirebileceği bir yer buldu: matematik. Kendi ifadesiyle, matematik “bilinmeyen, gizli bir sesin onu çağırdığı” alandı. 18 yaşında babası öldüğünde, mirasından aldığı parayla matematiğin büyük başkentlerinden biri olan Berlin Üniversitesi’ne kaydoldu.

Georg Cantor

Orada, matematikçiler arasında bir çatışma kaynamaya başlamıştı.

Mesele sonsuzluktu. Matematikçiler, binlerce yıl önce, adlandırdığınız herhangi bir sayı için her zaman daha büyük bir sayı adlandırabileceğiniz sorununu çözmek için bu soyutlamayı icat etmişlerdi. 

Ancak sonsuzluk kendi sorunlarıyla birlikte geliyordu. Antik Yunan filozofu Zeno, onu her türlü paradoksu uydurmak için kullandı. Sonsuzluk devreye girdiğinde, boyut ve toplama gibi basit kavramlar çökmüş gibi görünüyordu.

Sonsuzluk aynı zamanda dini bir meydan okuma da sunuyordu. Hristiyan teolojisi, Tanrı’nın tüm yaratımlarından daha büyük olması gerektiğini, tek gerçek sonsuzluk olduğunu, herhangi bir sayıdan daha büyük olduğunu öngörüyordu. Eğer sıradan matematikçiler bu ölçülemeyen niceliği kontrol edebilselerdi, bu Tanrı’ya ve dolayısıyla Kilise’nin otoritesine bir hakaret olurdu.

Binlerce yıldır matematikçiler, sonsuzluğun geçerli bir matematiksel varlık değil, sadece kullanışlı bir hile olduğu konusunda anlaşarak bu tehlikelerden kaçındılar. Büyük matematikçi Carl Friedrich Gauss’un 1831 tarihli bir mektubunda belirttiği gibi, sonsuzluk bir “ifade biçimi”nden, yani bir söz sanatından başka bir şey değildi.

Ancak bu  mektubu izleyen birkaç on yıl içinde, sonsuzluğu görmezden gelmek zorlaştı.

Matematikçiler, en temel kavramlarını yeniden gözden geçirmeye ve onları daha kesin hale getirmeye çalışıyorlardı. Sayıların ne olduğuna dair anlayışlarının bile, sağlam temellere dayanmadığını fark etmeye başladılar.

O zamana kadar, sayıları yalnızca cebirde denklemleri çözdüklerinde elde ettikleri cevaplar olarak düşünmüşlerdi: tam sayılar, kesirler, karekökler. Şimdi bazıları, bu farklı türlerin birbirleriyle nasıl ilişkili olduğunu ve keşfedilecek başka türler olup olmadığını araştırmak istiyordu.

Richard Dedekind

Bu kaşifler arasında Richard Dedekind adında sessiz bir Alman matematikçi de vardı. 1858’de, gerçel sayıları (Reel sayılar) – sayı doğrusunda görünen herhangi bir sayıyı – kesin olarak tanımlamanın bir yolunu buldu. Ancak bulgusunu paylaşmadı. Yavaş ve metodik bir düşünür olan Dedekind, doğru olduğundan emin olana kadar sonuçlarını başkalarıyla tartışmayı tercih etti.

1870 yılında ise, Dedekind’in çalışmalarından habersiz olan Cantor, yüksek lisans eğitimini tamamlamış ve belirli denklemlerin nasıl davrandığına dair pratik soruları incelemeye başlamıştı. Henüz sayıların doğası hakkındaki felsefi sorularla ilgilenmiyordu, ancak çalışmaları onu gerçel sayılar için kendi tanımını oluşturmaya yönlendirdi.

1872 yılının başlarında Dedekind ve Cantor, sonuçlarını birbirinden bağımsız olarak yayınladılar.

Her ikisi de radikal bir şey yapmıştı: Sayı doğrusunu yeniden tanımlamışlardı.

Makalelerinden önce matematikçiler, sayı doğrusunun kesintisiz bir nesne gibi görünse bile, yeterince yakınlaştırdığınızda sonunda boşluklar bulacağınızı varsaymışlardı.

Sıfır ile 1 arasındaki sayı doğrusunun bölümünü ele alalım. Sonsuz sayıda kesir içerir: Herhangi iki kesir için, aralarında başka bir kesir bulmak için her zaman yakınlaştırabilirsiniz. Ancak ne kadar yakınlaştırırsanız yakınlaştırın, asla ulaşamayacağınız belirli sayılar vardır, örneğin karekök 2.

Boşluklar vardı yani – sonsuzluk kırılmıştı.

Cantor ve Dedekind, 1872 tarihli makalelerinde, eksiksiz bir sayı doğrusu oluşturmanın bir yolunu bulmuşlardı. Herhangi bir bölümüne ne kadar yakınlaştırırsanız yakınlaştırın, sonsuz sayıda gerçek sayıdan oluşan, sürekli bağlantılı, kesintisiz bir alan olarak kalıyordu.

Aniden, matematikçilerin uzun zamandır korktuğu sonsuzluk canavarı, artık sayı doğrusunun sadece ulaşılamaz bir bölümünü olan en ucunda hapis değildi. Her köşesinde gizleniyordu.

O yaz, hem Cantor hem de Dedekind tatillerini İsviçre’nin Gersau göl kıyısındaki güzel bir köyde geçirdiler; burada ilk kez yolları kesişti ve fikirlerini tartışmak için birlikte uzun bir yürüyüş yaptılar.

Herhangi bir gözlemci için, göl kıyısında yürüyen iki adam garip bir eşleşme gibi görünebilirdi. 27 yaşında olan Cantor, uzun boylu, geniş omuzlu ve gürültülüydü. Akranlarından gelen ilgiden zevk alıyordu, ancak her şeyin altında, onu nasıl algıladıkları konusunda derin bir endişe duyuyordu. Bu durum onu ​​hızlı çalışmaya, sık sık ve hızlı bir şekilde yayın yapmaya itti. Öte yandan Dedekind, Cantor’dan 13 yaş büyüktü ama çok daha kısa boylu ve daha içine kapanıktı. Ve Cantor’un yayın yapma aceleciliğini paylaşmıyordu. Aslında, hayatı boyunca nispeten az yayın yapacaktı.

Ama iki adam hemen anlaştılar. Daha sonra yazdıkları mektuplarda, göl kenarında matematik üzerine konuşarak geçirdikleri o güzel günü tekrar tekrar anımsadılar. Birbirlerinde bir ortak, bir arkadaş bulmuşlardı.

Bu uzun sürmeyecekti.

Demien Goos matematik doktorasının ardından podcast yapmaya başladı.

Bir Hikayenin Peşinde

Demian Goos, hatırlayabildiği kadarıyla kurallara derinden önem veriyordu. 2008 yılında, 17 yaşındayken, büyüdüğü Almanya’dan, annesinin memleketi Arjantin’e taşındı. Orada Goos hakemliğe başlamaya karar verdi. “Arkadaşlarımla futbol oynamaktan keyif alıyordum,” dedi “Ama oynamaktan daha çok, spordaki adaletsizlikten her zaman rahatsız oluyordum. Bir maçı izlerken yanlış bir karar verildiğinde, doğru kararı vermeye katkıda bulunmak istiyordum.”

Bu ona inançlarını eyleme dönüştürme şansı verdi. Sonraki 15 yıl boyunca – Rosario Ulusal Üniversitesi’nde lisans, yüksek lisans ve doktora sonrası matematik araştırmacısı ve öğretim görevlisi olarak geçirdiği süre boyunca – büyük bir bölgesel futbol turnuvasında profesyonel maçlarda hakemlik yaptı. Bir keresinde, kalabalığın içindeki bir taraftarın ona bir pala gösterdiğini, dolaylı bir tehditte bulunduğunu hatırladı. Ancak taraftarın takımı bir sonraki pozisyonda faul yaptığında, Goos geri adım atmadı. Sadece derin bir nefes aldı ve kırmızı kartını çıkardı.

“Hakemlik gerçekten şekillendirici bir deneyimdi,” dedi. “İnsanlar beni korkutmaya çalıştığında geri adım atmam.”

Matematik araştırmalarından keyif almasına rağmen, Goos’u en çok cezbeden şey teoremlerin ardındaki hikayelerdi. Boş zamanlarını matematiksel fikirlerin tarihi hakkında okuyarak ve öğrendiği hikayeleri üniversite kafeteryasındaki arkadaşlarına dramatik bir şekilde anlatarak geçiriyordu; arkadaşları da burayı onun “ofisi” olarak adlandırmaya başlamıştı. Doktora sonrası araştırmacı olarak, bazen öğrencilerini dışarı çıkarıp optimizasyon algoritmaları veya kaotik sistemler gibi matematiksel kavramları yorumlayıcı dans yoluyla gösteriyordu. Birçok öğrencinin bundan keyif aldığını, ancak bazılarının ise hoşlanmadığını söyledi.

Profesörler onu bu tür alışılmadık yöntemler kullanmaması konusunda uyardılar. Goos, “Muhtemelen beni korkutabileceklerini düşündüler,” dedi. “Pala hikayesini duymamışlardı.”

2020 yılında, henüz doktora sonrası araştırmacı iken hastalandı ve tedavi için sık sık Almanya’ya geri dönmek zorunda kaldı. Birkaç yıl sonra tam zamanlı olarak geri döndü. Doktora sonrası araştırmasını bitirip sağlığına kavuştuktan sonra, akademiden ayrılıp hikaye anlatma tutkusunun peşinden gitmeye karar verdi. Ve böylece, 2023’ün başlarında, Berlin Özgür Üniversitesi’nde bir bilim gazeteciliği bursuna başladı ve burada bir podcast geliştirmeye odaklandı. Matematik tarihinin en etkileyici hikayelerini anlatmak istiyordu.

Ve nereden başlayacağına dair bir fikri vardı.

“Duygusal bir insan olduğum için, şimdiye kadarki en duygusal hikayeye odaklandım,” dedi – sonsuzluğun nasıl gerçek hale geldiği ve tüm modern matematiğe yeni bir temel sunan küme teorisinin doğuşuna yol açan hikaye. 

Goos, “Matematik, anlayışımızı sınırlarına kadar zorluyor,” dedi. “Matematiksel sezgiye veda etmeli ve orada karşılaşacağınız tüm hilelere açık ve alıcı olmalısınız.”

Okulda Cantor’un küme teorisinin tek kurucusu olduğunu ve her şeyin 1874’te yayınladığı bir kanıtla başladığını öğrenmişti. Bu kanıtta Cantor, sonsuzluğun farklı boyutlarda olduğunu göstererek, sonsuzluğun sadece matematiksel bir hile olduğu fikrini çürütmüştü.

Goos, Cantor’un keşfi hakkında bir podcast için araştırmaya başladı. Ancak kısa süre sonra gerçek hikayenin kendisine anlatılandan daha karmaşık olduğunu fark etti.

“Başlangıçtaki yaklaşımım hikayeyi herkese anlatmaktı. Güzel bir hikaye,” dedi. “Ama yanlış bir hikaye. Gerçekte olan bu değil.”

Cantor ve Dedikind’in mektuplaşmaları bir çığır açtı.

Truva Atı

Gerçek hikaye, Cantor’un tek başına bir dahi olmadığıydı. En azından bir süreliğine bir ortağı vardı.

Cantor, benzer düşünen matematikçilerle karşılaştığında, onları hevesle etkilemeye çalışırdı. Bir işbirlikçisinin evine şafak vakti gelir, yeni bir fikrini tartışmak için heyecanlanırdı, bazen uyanana kadar saatlerce beklerdi. Dedekind ile de durum böyleydi. 1872’de Gersau’daki karşılaşmalarından sonra Cantor, kendisinden yaşça büyük matematikçiden tavsiye almak için her fırsatı değerlendirdi.

Kasım 1873’te Cantor, insan bilgisinin seyrini sonsuza dek değiştirecek bir görüş alışverişine başladı. Aceleyle yazdığı bir mektupta Dedekind’e şöyle yazdı: “Size bir soru sormama izin verin. Benim için belli bir teorik ilgisi var, ama kendim cevaplayamam; belki siz cevaplayabilirsiniz.”

Cantor, babasının aşıladığı coşkulu dürtüye bir çıkış yolu bulmuştu: sayı doğrusunun sonsuz doğası. İspanya’daki Sevilla Üniversitesi’nde matematik tarihçisi ve felsefecisi olan José Ferreirós, “Çok güçlü bir misyon duygusuna sahipti,” dedi.

“Gerçek sonsuzluğun ortaya çıkmasının sadece matematiği değil, genel olarak bilimi de değiştireceğine inanıyordu.” 

Cantor’a göre, bu tür bir sonsuzluk Tanrı’nın üstünlüğüne aykırı değildi. Sadece Tanrı’nın uzak ve bilinmez olmak yerine her yerde, her şeyin arasında bulunduğunu ifade ediyordu.

Gerçel (Reel) sayıları tek, sonsuz bir paket olarak incelemeye başladı ve daha önce kimsenin sormayı düşünmediği sorular sordu. 1, 2, 3, …’deki üç noktanın işaret ettiği sonsuzluk ile sayı doğrusunun gizemli sürekliliğine yerleştirilmiş sonsuzluk arasında bir fark var mıydı? Başka bir deyişle, tam sayılardan daha fazla gerçel (reel) sayı var mıydı?

İlk bakışta soru anlamsız görünüyordu. Bu sonsuz kümelerin farklı boyutlarda olması ne anlama gelirdi ki?

Cantor bunu öğrenmek istedi.

Dedekind’e, iki sayı kümesinin “bire bir eşleşme”ye sokulup sokulamayacağını sordu – her gerçek sayının kendine özgü bir tam sayıyla eşleştirilmesi. Bunu farklı bir küme için başardığını yazmıştı: Rasyonel sayıların (kesir olarak yazılabilen sayılar) her birine benzersiz bir tam sayı atanabileceğini ve geriye hiçbir sayı kalmayacağını kanıtlamıştı. Yani, tam sayılardan çok daha fazla rasyonel sayı varmış gibi görünse de, iki küme aslında aynı büyüklükteydi. Bu nedenle her ikisi de matematikçilerin daha sonra “sayılabilir” olarak adlandıracağı türdendi.

Ancak Cantor, tam sayıları gerçel (reel) sayılarla (rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamını kapsayan küme) aynı şekilde nasıl karşılaştıracağını çözemedi. Dedekind hızla, kendisinin de bunu yapamadığını, ancak cebirsel sayıların (cebir problemlerinin çözümü olarak elde edilen sayılar) sayılabilir olduğunu kanıtladığını söyledi. Dedekind, Cantor’a yazdığı son mektupta, “Eğer bu açıklamaların bir veya ikisinin size faydalı olabileceğini düşünmeseydim, bunların hepsini yazmazdım” dedi.

Cantor’un Dedekind’e mektubundaki sorusu

Bundan sonra matematiksel atışma devam etti. Dedekind’in ilerlemesinden enerji alan Cantor, sonraki günlerini kalan soruya, yani gerçel (reel) sayılara odaklanarak geçirdi. Acaba sonunda, cebirsel sayılardan farklı olarak, tam sayılardan daha büyük bir sonsuzluk olduklarını gösterebilecek miydi?

7 Aralık 1873’te Dedekind’e yazdığı mektupta, sonunda başardığını düşündüğünü belirtti: “Ama eğer kendimi kandırıyorsam, kesinlikle daha fazlasını bulamayacağım.”

Kanıtını ortaya koydu. Ama hantal ve dolambaçlıydı. Dedekind, Cantor’un kanıtını basitleştirmenin, titizlik veya doğruluktan ödün vermeden daha net bir argüman oluşturmanın bir yolunu önerdi. Bu arada Cantor, Dedekind’in mektubunu almadan önce, Dedekind’in yaptığı gibi ayrıntıları henüz çözmemiş olsa da, kanıtı nasıl basitleştireceğine dair benzer bir fikir göndermişti.

Cantor elindekini düşündü: her ikisi de sonsuz olan, ancak biri diğerinden bir şekilde daha büyük olan iki küme. Bunun sonuçları devrim niteliğindeydi. Tek bir sonsuzluk değil, sonsuzluğun tüm bir hiyerarşisini hayal etmeye başladı. Ve eğer sonsuzluklar bu kadar somut bir şekilde karşılaştırılabilirse, o zaman sadece mecaz değil, gerçek olmaları gerekiyordu.

Kanıtının, matematik dünyasını temelden sarsma potansiyeline sahip olduğunu fark etti. Ancak bu, en önde gelen isimlerinden bazılarını kızdırmadan olmazdı.

Leopold Kronecker

Bu isimlerden biri, sonsuzluktan nefret eden bir matematik ideoloğu olan Leopold Kronecker’di. Sayı doğrusunun sıkışık köşelerine ve girintilerine inanmıyordu. π’nin cebirsel olmadığını kanıtlayan matematikçi Ferdinand von Lindemann’a göre (π’nin cevap olduğu sıradan bir cebir problemi asla ortaya koyamazsınız), Kronecker bir keresinde ona çalışmalarının değersiz olduğunu, çünkü bu tür “aşkın” sayıların var olmadığını söylemişti.

Kronecker aynı zamanda matematik dünyasında önemli bir kapı bekçisiydi. Dünyanın önde gelen matematik yayınlarından biri olan Crelle’s Journal’ın yayın kurulundaydı. Ve muazzam etkisini tutucu gündemini dayatmak için kullanmaktan asla çekinmezdi. Çoğu zaman, hangi makalelerin yayınlanacağına, hangilerinin yayınlanmayacağına o karar verirdi.

Cantor, çalışmalarını akıl hocası Karl Weierstrass ile görüştükten sonra, bulgularını Crelle’de yayınlamak istedi. Orada, sonsuzluğu ana akıma getirebileceğini, Tanrı’nın zihnini tüm dünyaya açıklayabileceğini düşünüyordu. Matematiğin ufkunda parlayan bir yıldız olmak istiyordu.

Cantor’un misyon duygusu, içindeki o “gizli ses”, giderek kabarmaya başladı.

Cantor’un Kronecker ile iyi bir ilişkisi vardı. Ancak birkaç yıl önce Dedekind, Kronecker’ı önemli bir sonuçta geride bırakmıştı ve Kronecker’ın ona olan nefreti herkesçe biliniyordu. Eğer Cantor, Kronecker’ın düşmanı ile ortak yazarlı bir makale -sonsuzluğun birden fazla boyutunun var olduğunu açıkça ilan eden bir makale- sunarsa, bu makale asla yayınlanmayabilirdi.

Bu yüzden iki karar aldı.

Birincisi, matematiksel bir Truva atı inşa etmekti.

Weierstrass, cebirsel sayıların sayılabilir olduğunu kanıtlayan makaleden çok heyecanlanmıştı. (Daha sonra bu sonucu kendi teoremini kanıtlamak için kullanacaktı.) Bu yüzden Cantor, sadece cebirsel sayılardan bahseden yanıltıcı bir başlık seçti.

Ancak bu kanıtı -Dedekind’in kanıtını- bir yem, sonsuzluğun yasak kapılarını açmak için kullanabileceği bir kama olarak gördü. Makalesini yazarken Cantor, cebirsel sayılarla ilgili ispatı ilk sıraya koydu. Bunun altına, gerçel sayıların sayılamayacağına dair kendi ispatını ekledi – yani Dedekind’in basitleştirilmiş versiyonunu. Cantor, bu ikinci bölümün gerçek önemini küçümsedi. Goos, Cantor’un yaptığı için “Kronecker’e ve sonsuzluktan nefret eden herkese şüpheli gelmeyecek bir ifade biçimi seçti,” diye anlatıyor.

Cantor’un ikinci kararı ise tüm makale kendisine aitmiş gibi göstermekti. İşbirlikçisinin katkısının her izini, hatta bilen herkesin Dedekind’e ait olduğunu anlayacağı terimlerin rastgele kullanımlarını bile dikkatlice sildi.

Klasik Cantor tarzında, makaleyi bir gün içinde bir araya getirdi ve Crelle’ye gönderdi. Ertesi sabah, 1873 Noel Günü, Dedekind’e bir mektup göndererek Weierstrass’ın onu yayınlamaya ikna ettiğini bildirdi. “Göreceğiniz gibi,” diye yazdı, “Çok değer verdiğim yorumlarınız ve bazı noktaları ifade etme biçiminiz bana büyük ölçüde yardımcı oldu.”

Hikâyeyi Yazmak

Cantor’un aldatmacasının ilk kanıtı, 20. yüzyılın başlarında başka bir büyük Alman matematikçi tarafından ortaya çıkarıldı. Emmy Noether, Dedekind’in bir öğrencisiydi. Sık sık onun matematiksel öngörüsünden övgüyle bahsederdi. Öğrencilerine söylemeyi sevdiği gibi, “Her şey zaten Dedekind’de var.” 

1930’da, Dedekind’in tüm matematiksel çalışmalarını dört ciltlik bir yayında toplarken, Cantor ile yaptığı yazışmalardan sakladığı bazı mektuplara rastladı. Bunları da toplamak ve yayınlamak için Fransız filozof Jean Cavaillès ile işbirliğine gitti.

Emmy Noether, intihali ilk yakalan isimdi.

Dedekind ve Cantor’un ölümünden on yıldan fazla bir süre geçmişti. Noether ve Cavaillès, sonraki birkaç yılı Dedekind’in mirasından mektupları bulmakla geçirdi. 1933’te, Adolf Hitler’in iktidara gelmesinden sonra, Yahudi olan Noether, Almanya’dan ABD’ye kaçtı ve iki yıl sonra kanserden öldü. Ancak Cavaillès projelerini 1937’de tamamladı.

Kitapta sunulan yazışmalar garipti. Cantor ve Dedekind’in 1872’de tanışmalarından kısa bir süre sonra başlayan bir mektup fırtınasıyla başladı. Dedekind’in arşivinden gelen mektuplar, yalnızca kendisinin aldığı mektupları içeriyordu, Cantor’a gönderdiği mektupları içermiyordu. Ardından yazışmalar Ocak 1874’te aniden sona erdi ve birkaç yıl süren bir sessizlik dönemi yaşandı. 1877’de yazışmalar yeniden başladığında, Dedekind’in Cantor’a yazdığı kendi mektupları da ortaya çıktı. Görünüşe göre Dedekind, meslektaşı matematikçiye gönderdiği her şeyin bir kopyasını saklamaya karar vermişti.

Ayrıca, Dedekind’in Cantor’un 1874’te Crelle’de yayınlanan makalesini gördükten sonra kendi kendine yazdığı bir not da vardı. Bu notta, Cantor’a makaledeki ilk taslağı ve ikincisinin revize edilmiş versiyonunu nasıl gönderdiğini, ancak birkaç ay sonra her ikisinin de “neredeyse kelimesi kelimesine” Cantor’un tek başına adıyla basılı olarak yayınlandığını anlatıyordu.

Dedekind bu iddiayı hiçbir zaman kamuoyuna açıklamadı ve Noether ile Cavaillès de bu konuda yorum yapmadı. Sevilla’daki tarihçi Ferreirós, “Bence onlar için hiçbir şey söylememek ve mektupların kendilerini anlatmasına izin vermek çok bilinçli bir karardı,” dedi. “Bu, o zamanın onur koduydu.”

Cantor-Dedekind mektuplarının kitabı 1937’de yayımlanabildi.

Başka hiç kimse de buna dikkat çekmedi – en azından basılı olarak değil. Cantor’un matematikçi öğrencileri tarafından yazılan en eski biyografiler, onun dehasını övüyordu.

On yıllar sonra, Ivor Grattan-Guinness gibi tarihçiler Cantor-Dedekind yazışmasını yeniden ele aldılar. Grattan-Guinness, Cantor’un yanlış yaptığını kanıtlayabilecek olan, Dedekind’in 1873’te Cantor’a gönderdiği mektupları bulmak için büyük çaba sarf etti. Mektupların, Cantor’un ölümünden sonra Halle Üniversitesi’ndeki ofisinde bırakıldığı söyleniyordu, ancak şimdi hiçbir yerde bulunamıyorlardı. Grattan-Guinness, büyük olasılıkla mektupların II. Dünya Savaşı sırasında veya 1945’te Amerikan ve Sovyet güçlerinin Halle’yi işgal etmesinin ardından gelen yıkımda kaybolduğu sonucuna vardı.

Mektuplar olmadan, Grattan-Guinness ve çağdaşları Cantor’u etik dışı davranışla suçlamamaya karar verdiler. Bazıları onun Dedekind’in izniyle hareket ettiğine karar verdi; diğerleri ise yazışmayı başlatan ve daha önemli olan ikinci kanıtın ilk versiyonunu ortaya koyan kişi olduğu için seçimini mazur gördüler.

Ancak Goos, 2024 yılında podcast’i üzerinde çalışırken bu tarihi öğrendiğinde öfkelendi. Cantor’un yanlış yaptığını açıkça tartışan yalnızca bir yazı bulabildi. 1993 tarihli bir makalede Ferreirós, Cantor’u Dedekind’in eserini izinsiz çalmak ve yayınlamakla suçladı. Ancak diğer Cantor biyografları, Ferreirós’un anlatısına hemen karşı çıktılar ve bunun olanların çok aşırı bir yorumu olduğunu savundular. Ayrıca, Dedekind’in kayıp mektubu olmadan, sözde suçun gerçek bir kanıtı yoktu – sadece Dedekind’in sonradan yazdığı not vardı. Kimse iddialarının doğru olduğundan emin olamazdı.

Bu, matematik tarihçileri arasında belirsiz bir tartışma olarak kaldı ve Cantor’un yalnız dahi gizemi devam etti.

Goos, podcast’inde gerçek hikayeyi anlatmak ve bunu desteklemek istedi. Bunu yapmanın bir yolunu gördü. Ama bu çok zor bir ihtimaldi.

“Mektupların savaştan sonra kaybolduğunu hep söylediler,” dedi. Bu onu rahatsız ediyordu. “Şüphesiz ki çok şey kayboldu, ama bu başka hiçbir şeyin hayatta kalmadığı anlamına gelmiyor.”

Birçok büyük tarihçi mektupları aramış ve kısa süreliğine de olsa bulmuştu. Goos ise araştırmasına yeni başlamıştı. Ama tüm uzmanlar bir şeyi kaçırmış olabilir miydi?

Yalnız Bir Varoluş

Cantor’un Crelle’deki makalesi büyük bir yankı uyandırmadı, çünkü matematikçiler büyük ölçüde satır aralarında gizlediği şeyi kaçırdılar. Ancak matematiksel statükoya karşı ömür boyu sürecek bir saldırının ilk darbesini vurmuştu. Matematiğin en önde gelen dergisinde, sonsuzluğun farklı boyutlarda geldiğinin kanıtını yayınlamıştı. Bu, sonunda matematikçileri alanın temellerini yeniden düşünmeye, en temel kurallarını ve sonuçlarını belirlemeye zorlayacaktı.

Bu arada, Dedekind Cantor’a cevap vermeyi bıraktı. Neredeyse üç yıl boyunca hiç yazışmadılar. Sonra, tam olarak bilinmeyen nedenlerle, Dedekind ihtiyatlı bir şekilde tekrar iletişime geçti. Ama bu sefer, gönderdiği her mektubun taslağını sakladı: güvenli bir kayıt.

İkisi tekrar sonsuzluk üzerine konuşmaya başladılar. Cantor, sonsuzluğun birçok boyutu üzerine yaptığı çalışmayı sürdürmeyi planlıyordu ve tavsiye istiyordu. Mektupları artık daha yalvarıcı, Dedekind’in mektupları ise daha temkinliydi. Ancak yazışmalar verimliydi ve Cantor kısa süre sonra Crelle’ye yeni, daha cesur bir makale sundu – bu sefer, kılık değiştirmeden.

Kronecker isyan etti. Berlin çevresindeki tüm nüfuzunu kullanarak inceleme sürecini olabildiğince geciktirdi. Ancak birkaç ay sonra, Weierstrass ve diğerleri Cantor adına araya girdi ve makale sonunda dergide yayınlandı.

Bir kez daha, Dedekind’in Cantor’a yazdığı mektuplardaki fikirler, kaynak belirtilmeden makalede yer aldı. Bir kez daha, Dedekind yazışmalarını kesti.

Cantor, belki de tek entelektüel müttefiklerinden biriyle bu kopuşu pişmanlıkla karşılayacaktı. Halle’nin matematiksel açıdan geri kalmış bir yer haline gelmesini, kendi çalışmalarından doğan alanın, yani küme teorisinin merkezine dönüştürmek için mücadele ediyordu. Bunu başarmak için en iyi şansı Dedekind’i işe almaktı. 1882’de, hiçbir şey olmamış gibi onu işe almaya çalıştı. Dedekind kibarca reddetti.

Cantor sonsuzluk üzerine sonuçlar yayınlamaya devam ederken, Kronecker matematik camiasını ona karşı çevirmek için çalıştı. Cantor’u “gençliğin yozlaştırıcısı” olarak nitelendirdi.

Cantor, Halle’den ayrılmaya çalışırken 1883’te daha prestijli Berlin Üniversitesi’nde bir pozisyon için başvurduğunda, orada profesör olan Kronecker onun atanmasını engelledi. Cantor’un bazı arkadaşları da dahil olmak üzere diğer matematikçiler de onu yayın yapmaktan caydırmaya başladılar.

Cantor tüm bu direnişi kişisel olarak algıladı. Goos, “Onaylanma özlemi vardı” dedi. 1884’te Cantor, büyük bir depresyon atağı nedeniyle hastaneye kaldırıldı. Zamanla giderek daha da izole oldu. Ferreirós, “Bir örüntü vardı,” dedi. “Meslektaşlarıyla olan ilişkilerinin çoğu kötü bir şekilde sona erdi.”

Sonunda Cantor, babasının kendisini uyardığı muhalefetin kurbanı oldu. Hak ettiğini düşündüğü akademik görevler ve onurlar kendisine defalarca verilmediğinde, misyon duygusu yerini kızgınlığa bıraktı. Depresyonu geri döndü ve sonraki yirmi yıl boyunca birkaç kez hastaneye yatırıldı. 1917’de nihayet bir sanatoryuma yatırıldı ve burada karısına düzenli olarak mektuplar yazarak eve dönmesine izin vermesi için yalvardı. Ertesi yıl öldü.

Cantor kenara itilmişti. Ancak yavaş yavaş fikirleri yeni bir matematikçi kuşağı arasında ilgi görmeye başladı. Cantor’un çalışmalarında matematiğin tamamını baştan yazma potansiyeli gördüler.

Şanslı Bir Keşif

Goos da bazı yeniden yazmalar yapmayı hedefliyordu. 2024 podcast’inde Cantor ve Dedekind arasındaki çatışmayı ele aldı. Ancak yeni bir kanıt bulamayınca, tartışmayı değiştirmekte zorlandı. Başka projelere yöneldi.

Yine de hikayeyi bırakamadı.

Boş zamanlarında kayıp mektuplarla ilgili ipuçları aramaya devam etti. “Sahip olmadığım bir kitap kaldığını gerçekten düşünmüyorum,” dedi. Orijinal kaynakları bulmak için çabaladı ve üniversite arşivlerini elinden geldiğince taradı. “Gerçekten de tek bir makalede tek bir satırda bir kez bahsedilen birincil kaynaklardan bahsediyorum,” dedi.

İşte bu yüzden, 2024 yazında, Dedekind’in Cantor’a yazdığı bir mektuba benzeyen kısmi bir taramaya rastladı. Bu, “Georg Cantor Derneği” başlıklı bir web sayfasındaydı. Goos, “Cantor’un anısını canlı tutmaya çalışan bir grup insan,” dedi. Mektup, çatışmadan çok sonra, 1877 yılındandı, bu nedenle Dedekind’in taslağı zaten tarihsel kayıtlarda yer alıyordu. Ancak Cantor’a gönderdiği kopyanın hiçbir kaydı yoktu. Goos, örgütün çeşitli üyeleriyle iletişime geçmeye çalıştı ancak yanıt alamadı.

Aylar sonra, web sayfasına geri döndü. Ancak bu sefer, taramanın altında, sitenin 2009 yılında yapılan bir bağıştan bahsettiğini fark etti. Bir varisten gelen mektuplar. Bu varisin kim olabileceğini araştırdı ve birçok aile ağacını ve diğer belgeleri inceledikten sonra, sonunda Halle’de yaşadığı anlaşılan Cantor’un büyük torunu Dr. Angelika Vahlen’e rastladı.

Onu aradığında, matematik hakkında hiçbir şey bilmediğini (aslında bir arkeolog olduğunu) ancak sahip olduğu mektupları tarihçilerin incelemesi için sunmak istediğini söyledi. Mektupları Halle Üniversitesi’ne (bugün resmi olarak Martin Luther Üniversitesi Halle-Wittenberg olarak biliniyor) vermişti ve mektuplar Cantor Derneği başkanı, Karin Richter adında bir matematik profesörünün eline geçmişti.

Goos, Mart 2025’te Richter’in ofisine gitti. Onun uzattığı ince mavi klasörü açtı.

Cantor Derneği’nin web sitesinde yayınlanan Dedekind’den gelen daha sonraki mektubu görmeyi bekliyordu. Bu, orijinal kaynak arayışlarının diğer örnekleri gibi, zaten bilinenleri doğrulamak için iyi bir yol olacaktı.

İşte o mektup.

Ama işte karşısında, bir yıldan fazla süredir bulmayı umduğu mektup duruyordu. Bundan emindi. Dedekind’in titiz, süslü el yazısı, Cantor’un düzensiz karalamasından bile daha okunaksız olsa da, Goos sayfaların “cebirsel sayılar” ifadesiyle dolu olduğunu görebiliyordu: “cebirsel sayılar.” Ve en altta, şüphe götürmez bir şekilde, imza vardı: “En içten saygılarımla, en sadık R. Dedekind’iniz — Braunschweig, 30 Kasım 1873.”

Richter elinde ne olduğunu biliyor muydu acaba? Ondan mektubun bir elektronik kopyasını istedi. Richter düşüneceğini söyledi.

Günün ikinci beş saatlik tren yolculuğunda eve dönerken Goos, elinde tuttuğu keşfi düşündü. Durumun hassas olduğunu biliyordu. Cantor’un Dedekind’e ihanetini gündeme getirdiğinde Alman matematikçilerin küçümseyici tavrını yaşamıştı. Goos, “Gurur, Almanların genellikle rahat hissetmediği bir şeydir,” dedi. “Ama biz Cantor’la gurur duyuyoruz.” Richter’den daha büyük bir Cantor hayranı bulmak zor olurdu ve mektubun bir kopyasını paylaşmaya da pek istekli görünmüyordu.

İki gün sonra Richter’in telefon numarasını aradığında umutları suya düştü. Numara artık kullanılmıyormuş. “Bunu birine nasıl söylersiniz? Biliyor musunuz, bu hanımla konuştum, bu mektupları paylaşmaktan pek mutlu görünmüyordu, bu yüzden onu aradım ve telefonu artık yokmuş,” dedi. Richter’in ofisinde telefonunu çıkarıp fotoğraf çekmeye başlamak için fazla kibar davrandığı için kendini azarladı.

Sonraki bir ay boyunca Halle’deki tanıdığı herkesle iletişime geçti ve onlara Richter’e ulaşmanın bir yolunu bulmaları için yalvardı. “Sanırım deliriyorum,” dedi. “Acaba o gerçekten var mı?” Sonunda, Richter’in meslektaşlarından biri ona bir sonraki dersini ne zaman ve nerede vereceğini söyledi. Nisan ayında 10 saatlik gidiş-dönüş yolculuğunu tekrar yaptı ve Richter, telefon sağlayıcısını değiştirdiğini açıkladı. Ona tek bir tarama ve transkripsiyon verdi. Sadece bir mektuptu, ama önemli olan buydu.

Ve mektuptaki kritik cümle, büyük buluşta Dedekind’in katkısını belgeliyor.

Bir ay sonra, başka bir yolculuk ve Richter, 1873 yazından kalma bir başka Dedekind mektubunu teslim etti. Goos, bu yolculukların daha fazlasını karşılayıp karşılayamayacağından emin değildi: “Zengin değilim,” dedi. Bulduklarını dünyaya duyurmanın zamanı geldiğine karar verdi.

Daha Gerçek Bir Miras

Bugün, Cantor’un şöhreti Dedekind’inkini çok aşıyor.

Her ikisi de matematiğin temellerine büyük katkılarda bulundu. Ancak Cantor, sonsuzlukla mücadele etmek ve modern matematiğin tamamının yazıldığı dil olan küme teorisini icat etmekle sık sık anılır. Dedekind ise, matematik dünyasının dışındaki insanlar tarafından pek bilinmez.

Dedekind hakkında İngilizce yazılmış hiçbir biyografi yok örneğin. Wikipedia sayfası, ilk arkadaşının sayfasının dörtte biri uzunluğunda. Matematikçiler arasında – büyük ölçüde Noether’in çabaları sayesinde – daha az bilinen bir vizyoner olarak ününü koruyor. Notre Dame Üniversitesi’nde teorisyen ve filozof olan Joel David Hamkins, “Dedekind hakkında ne kadar çok şey öğrenirsem, o kadar çok etkileniyorum,” dedi ve ekledi: 

”Cantor tüm bu büyük teoremleri kanıtladı, ancak Dedekind muhtemelen daha büyük bir matematikçiydi.”

Cantor’un 1874 tarihli makalesinin ardındaki gerçek hikaye 90 yıldır göz önünde duruyor. Ancak bu, insanların anlatmayı sevdiği türden bir hikaye değil. Ferreirós, “Her bilim dalının bir kahramana ihtiyacı vardır,” dedi. “Kimyanın Lavoisier’i, mekaniğin Newton’u, göreliliğin Einstein’ı var. Her zaman bu bir kişi, sadece bir tane vardır. Ama bu her zaman bir yalan.”

Yalanı sorguladığından beri Goos dirençle karşılaştı. Kayıp mektubun keşfini paylaştığında, matematikçiler -özellikle Almanya’da- bunun önemini sorguladılar. İnsanların neden önemli olduğunu anlamalarını sağlamakta zorlandı. Tepkileri, tarihçilerin 30 yıl önce Ferreirós’un makalesine verdikleri tepkiyi yansıtıyor.

Ama önemli. Matematik genellikle gerçek dünyadan ve kusurlarından en güvenli mesafede yaşayan bilim olarak görülür. Doğruları mutlaktır. Güzelliği ve zarafeti her şeyin üstünde tutar. Önemli olan çalışma, keşfedilen dünyadır. Yazarlık ve kredi de dahil olmak üzere her şey ikincildir.

Ancak bu, bilimsel gerçeğin peşinde koşmanın nasıl işlediğinin gerçekliğini gizler. Ferreirós, “Matematik kolektif bir girişimdir,” dedi. “Küme teorisi örneğinde bile, her şeyi icat eden tek bir adamın bu harika örneğine sahip değilsiniz.”

Bu durum aynı zamanda matematiğin insanlar tarafından yapıldığı gerçeğini de gizliyor. Egoları, görüşleri ve kişisel kusurları işin kendisinden ayırmak imkansız. Goos, Cantor’un yanlış davranışını küçümseyen matematikçilere “Harika,” diye yanıt vermeyi seviyor. “Yazacağınız bir sonraki makaleyi anonim yapın. O zaman bilimle ilgili olup olmadığını göreceğiz.” 

Matematikçiler kendi çalışmalarına gelince, itibara çok önem verirler. Birçoğu hangi teoremi kimin ortaya attığı ve hangi ödülleri kimin kazandığı konusunda neredeyse ansiklopedik bir bilgiye sahiptir.

Cantor’un sonucu hakkındaki açıklama, mirasını zayıflatmaz. O, gerçek sayıların tam sayılardan daha fazla olduğunu kanıtlayan ilk kişiydi ve bu da nihayetinde sonsuzluğu incelemeye açtı. Hamkins, “Bence asıl önemli olan ikinci teorem,” dedi. Ve bu teoremin orijinal kanıtı Dedekind’e ait değildi.

Ancak yine de Dedekind’in matematiğin en büyük keşiflerinden birindeki rolünü ve Cantor’un ona hiç atıfta bulunmama kararını kabul etmek önemli. Sonuç olarak, Cantor’un seçimleri onu kahramandan insana, daha dürüst bir tabloya indirgiyor. Richter, “Cantor, diğer insanlarla kolayca bağlantı kuramayan bir adamdı,” dedi. “Cantor için çok, çok zordu.”

“Çok gençti, çok tutkulu ve hevesliydi,” dedi Ferreirós. “Ve büyük bir hata yaptı.”

Sonuçta bu daha iyi bir hikaye çünkü gerçek.