10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 80 Cevapları MEB Yayınları – Sinüs Teoreminin İspatı
Sinüs teoremi ile üçgende uzaklık hesaplama ve ispatı bu makalede detaylıca açıklanıyor. İlk olarak, Piraye ve Begüm arasındaki mesafe, verilen açılar ve bir kenar uzunluğu kullanılarak sinüs teoremi yardımıyla yaklaşık 576 metre olarak bulunuyor. Ardından, Nevra ve Begüm arasındaki uzaklık benzer şekilde hesaplanarak yaklaşık 728 metre olarak belirleniyor.
Makalenin devamında, sinüs teoremi ayrıntılı bir şekilde ispatlanıyor. Bir ABC üçgeninde, yükseklikler yardımıyla kenarlar ve açılar arasındaki trigonometrik ilişkiler kuruluyor. Üçgenin alanının farklı kenar ve açılarla ifade edilebileceği gösterilerek, a / sin = b / sin B̂ = c / sinĈ eşitliği elde ediliyor. Bu eşitlik, üçgende kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranının sabit olduğunu ifade ediyor ve sinüs teoremi olarak adlandırılıyor. Bu teorem, üçgenlerdeki geometrik problemleri çözmek için önemli bir araçtır.
10. Sınıf Matematik: Sinüs Teoremi İspatı (MEB Yayınları Sayfa 80 Çözümleri)
18. Sıra Sizde – Üçgende Uzaklık Bulma (Sinüs Teoremi)
Soru a)
Piraye (P noktası) ile Begüm (B noktası) arasındaki yaklaşık uzaklığı bulunuz.
Verilenler:
m(BPN) = 65°, m(BNP) = 46°, PN = 744 m
sin46° = 0,72 sin65° = 0,91 sin69° = 0,93
Çözüm:
Üçgende sinüs teoremi uygulanır:
PB / sin46° = PN / sin69°
PB = 744 × (sin46° / sin69°)
PB = 744 × (0,72 / 0,93) ≈ 576 m
Cevap: Piraye ile Begüm arası uzaklık yaklaşık 576 metredir.
Soru b)
Nevra (N noktası) ile Begüm (B noktası) arasındaki yaklaşık uzaklığı bulunuz.
Çözüm:
BN / sin65° = PN / sin69°
BN = 744 × (sin65° / sin69°)
BN = 744 × (0,91 / 0,93) ≈ 728 m
Cevap: Nevra ile Begüm arası uzaklık yaklaşık 728 metredir.
23. Uygulama – Sinüs Teoreminin Ayrıntılı İspatı
Soru 1:
Sinüs kavramından yararlanarak üçgende hangi eşitlikler kurulabilir?
Bir ABC üçgeninde, köşe açıları ile karşılarındaki kenarlar arasında trigonometrik bir ilişki vardır. Bu ilişkiyi gösterebilmek için üçgenin bir köşesinden yüksekliği indiririz.
A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik hₐ olsun.
Bu durumda: ➡️ hₐ = b·sinĈ = c·sin B̂
Bu yükseklik eşitliği, aynı üçgenin farklı kenar ve açıları kullanılarak da ifade edilebilir. Böylece üçgenin alanı için üç ayrı formül elde edilir:
A(ABC) = ½·b·c·sin = ½·a·c·sin B̂ = ½·a·b·sinĈ
Bu eşitlikler bize, üçgenin alanını hangi iki kenar ve aradaki açıyla hesaplarsak hesaplayalım, sonucun değişmeyeceğini gösterir. Bu özelliği kullanarak sinüs teoremini ispatlayabiliriz.
Soru 2:
Sinüs teoremini ispatlayınız.
I ve II numaralı ifadelerin eşitliği kullanılarak:
½·b·c·sin = ½·a·c·sin B̂
⟹ a / sin = b / sin B̂
eşitliği bulunur.
I ve III numaralı ifadelerin eşitliği kullanılarak:
½·b·c·sin = ½·a·b·sinĈ
⟹ a / sin = c / sinĈ
eşitliği bulunur.
Sonuç olarak: a / sin = b / sin B̂ = c / sinĈ eşitlikleri elde edilir.
Bu eşitlik, üçgende kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranının sabit olduğunu ifade eder ve bu ilişki Sinüs Teoremi olarak adlandırılır.
Yorum gönder