9. Sınıf Matematik 2. Kitap Sayfa 60-61 Cevapları – Tales Teoremi 10. Uygulama Çözümlü

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları (2. Kitap) Sayfa 60-61

10. Uygulama: Tales Teoremi (Sorular Tam Yazıldı – Çözümlü)

Bu uygulamada paralel doğruların iki kesen üzerinde oluşturduğu parçaların orantılı olduğu, benzer üçgenlerle ispatlanır. Sonuç olarak |AB” = |DE” elde edilir ve örneklerde de aynı yöntem uygulanır.

1. Soru – Aşağıda verilen teoremin ispatına yönelik adımları uygulayınız.

1. Teoremi inceleyiniz.
Teorem: Birbirine paralel en az üç doğru, farklı iki kesen üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.
Verilenler: d3 // d4 // d5 olacak şekilde d3, d4 ve d5 doğrularını kesen farklı d1 ve d2 doğruları
İspatlanacak ifade: |AB” = |DE”

d3, d4, d5 doğruları birbirine paralel olduğu için, bu doğruların d1 ve d2 kesenleri üzerinde oluşturduğu parçalar aynı oranda bölünür.

Paralellikten doğan yöndeş açılar eşit olduğundan uygun üçgenler A-A benzerliği ile benzer olur.

Benzerlikten karşılık gelen kenarlar orantılıdır ve istenen oran elde edilir:
|AB” = |DE”

2. Soru – Birinci adımda ifade edilen teoremin benzer üçgenler oluşturularak nasıl ispatlanabileceğine ilişkin fikirlerinizi yazınız. Fikirlerinizi arkadaşlarınızla saygı çerçevesinde tartışınız.

Cevap: Paralel doğrular çizildiğinde, kesenlerle oluşan açılar yöndeş/ters iç açı olarak eşit olur. Böylece iki üçgende iki açı eşitliği yakalanır ve üçgenler A-A ile benzer olur; benzerlikten de kesen üzerindeki parçalar arasında orantı kurulup Tales teoremi ispatlanır.

3. Soru – Benzer üçgenler oluşturmak için gerekli çizimleri yapınız ve çiziminiz ile ilgili açıklamaları yazınız.

• d3, d4, d5 paralel doğrularını çizip d1 ve d2 kesenlerini ekleriz.
• Paralellikten dolayı oluşan eş açılara bakarak iki üçgen seçeriz (örneğin üst–orta paraleller arası bir üçgen ve orta–alt paraleller arası benzeri).
• İki açı eşit bulunduğu için üçgenlerin benzer olduğunu belirtiriz.

4. Soru – Yaptığınız çizimler sonucunda oluşturduğunuz benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orantıyı ifade ediniz.

Cevap: Benzerlikten karşılık gelen kenarlar orantılıdır. Bu etkinlikte ulaşılan temel oran:
|AB” = |DE”

5. Soru – Teoremin ispatının tamamlanıp tamamlanmadığına ilişkin fikrinizi ispat sürecinde takip ettiğiniz adımlardan hareketle gerekçelendirerek açıklayınız ve arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.

Cevap: İspat tamamlanmıştır; çünkü paralellik sayesinde iki üçgen arasında A-A benzerliği kurulmuş ve benzerlikten doğrudan kenar oranları elde edilmiştir. Bu oranlar da Tales teoreminin söylediği “kesen üzerindeki parçaların orantılı olması” sonucunu verir.

6. Soru – Yaptığınız ispatta kullandığınız yöntemi değerlendirmek için aşağıdaki problemleri çözünüz.

6(a) Yandaki ABC üçgeninde A, D, B ile A, E, C doğrusal, B ve C’den geçen doğru d2 ve d1 // d2 olmak üzere |AD” = |AE” olduğunu gösteriniz.

d1 // d2 olduğundan şekildeki DE doğrusu BC’ye paraleldir (çizimde DE, BC’ye paralel çizilmiş olur).

Bu durumda üçgenlerde:

• ∠ADE = ∠ABC (yöndeş açılar)
• ∠AED = ∠ACB (yöndeş açılar)

⇒ ΔADE ~ ΔABC (A-A benzerliği)

Benzerlikten: AD / AB = AE / AC

AB = AD + DB ve AC = AE + EC olduğundan bu oran, içten bölme oranına dönüşür ve standart sonuç elde edilir: AD / DB = AE / EC

İstenen gösterildi: |AD” = |AE”

6(b) – Yandaki ABC üçgeninde D ve F noktası BC kenarı, E noktası AC kenarı üzerindedir. [AB] // [ED], [AD] // [EF], |CF| = a, |FD| = b ve |DB| = c olarak verilmiştir. Buna göre a, b ve c uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulunuz.

Şekilde BC doğrusu üzerinde sıralama B — D — F — C şeklindedir.
Bu yüzden:

• CD = CF + FD = a + b
• CB = BD + DF + FC = c + b + a = a + b + c

1) [AB] // [ED] ⇒ ΔCED ~ ΔCAB (A-A)
Buradan: CD / CB = CE / CA …(1)

2) [AD] // [EF] ⇒ ΔCEF ~ ΔCAD (A-A)
Buradan: CF / CD = CE / CA …(2)

(1) ve (2)’yi birleştirirsek: CF / CD = CD / CB

Yerine yazalım: a / (a + b) = (a + b) / (a + b + c)

Çapraz çarpım: a(a + b + c) = (a + b)²

Açalım: a² + ab + ac = a² + 2ab + b²
ac = ab + b²
ac = b(a + b)

İlişki: a·c = b(a + b)