9. Sınıf Matematik 2. Kitap Sayfa 66 Cevapları – Öklid Teoremi 11. Uygulama Çözümlü

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları (2. Kitap) Sayfa 66

11. Uygulama: Öklid Teoremi Cevapları

Öklid teoremine göre dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüsün iki parçaya ayrılan uzunluklarının çarpımına eşittir: h² = p·k. Bu sonuç, BAC, ABH ve AHC üçgenlerinin A-A benzerliği ile ispatlanır.

1. Soru – Teoremi inceleyiniz.

Teorem: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
Verilenler: BAC dik üçgeni, [AH] ⟂ [BC], |BH| = p, |HC| = k, |BC| = a, |AC| = b ve |AB| = c
İspatlanacak ifade: h² = p · k

Cevap: BAC dik üçgeninde A’dan hipotenüs BC’ye indirilen yükseklik AH = h olsun. Yüksekliğin hipotenüsü böldüğü parçalar BH = p ve HC = k olduğunda Öklid teoremi şunu söyler:
h² = p·k
Yani yüksekliğin karesi = hipotenüs parçalarının çarpımıdır.

2. Soru – Teoremin BAC dik üçgeninde hipotenüse ait yüksekliğin çizilmesi ile ortaya çıkan ABH ve ACH dik üçgenleri kullanılarak nasıl ispatlanabileceğine ilişkin fikirlerinizi açıklayınız. Fikirlerinizi arkadaşlarınızla iletişim kuralları çerçevesinde tartışınız.

Cevap : Hipotenüse indirilen AH yüksekliği çizildiğinde iki adet dik üçgen oluşur: ABH ve AHC. Bu üçgenlerin her biri, büyük üçgen ABC ile aynı açılardan bazılarını içerdiği için benzerlik kurulabilir. Benzerlikten elde edilen oranlar kullanılarak h² = p·k eşitliği adım adım çıkarılır.

3. Soru – BAC, ABH ve ACH üçgenleri arasında herhangi bir benzerlik kuralı var mıdır? Varsa ulaştığınız benzerlik kuralını yazınız.

Cevap (Detaylı)

Evet vardır.

• ΔABC dik üçgendir (∠A = 90°).
• ΔABH ve ΔAHC de dik üçgendir (∠H = 90°).

Ayrıca:

• ∠ABC = ∠ABH (B açısı ortaktır / aynı doğrultudadır)
• ∠ACB = ∠ACH (C açısı ortaktır / aynı doğrultudadır)

Bu nedenle:
ΔABC ~ ΔABH ~ ΔAHC
Benzerlik kuralı: A-A (Açı-Açı)

4. Soru – ABH ve CAH üçgenleri arasında belirlediğiniz benzerlik kuralına uygun olarak üçgenlerin kenarları arasındaki ilişkiyi yazınız.

Cevap (Detaylı)

ΔABH ile ΔCAH (yani ΔAHC) benzer olduğundan karşılık gelen kenarlar oranlanır:

Eşleştirme (açı karşılıklarına göre):

• AB ↔ AC
• BH ↔ AH
• AH ↔ HC

Bu yüzden: AB / AC = BH / AH = AH / HC

Buradan özellikle şu oran çok önemlidir: BH / AH = AH / HC

Çapraz çarpım yaparsak:

• AH² = BH · HC
• h² = p · k

İstenen teorem elde edilir.

5. Soru – Teoremin ispatının tamamlanıp tamamlanmadığına ilişkin fikrinizi ispat sürecinde takip ettiğiniz adımlardan hareketle gerekçelendirerek açıklayınız ve arkadaşlarınızla tartışınız.

Cevap : İspat tamamlanmıştır; çünkü önce hipotenüse yükseklik çizilerek ABH ve AHC üçgenleri oluşturuldu, sonra bu üçgenler ile ABC üçgeni arasında A-A benzerliği kuruldu. Benzerlik oranlarından AH² = BH·HC bağıntısı çıkarılarak h² = p·k sonucu elde edildi.

6. Soru – Yaptığınız ispatta kullandığınız yöntemi değerlendirmek için BAC, ABH ve ACH üçgenleri arasındaki benzerlik kurallarını kullanarak b² = k · a ve c² = p · a eşitliklerini gösteriniz.

Cevap (Detaylı Gösterim)

(I) b² = k·a

Benzerlik: ΔABC ~ ΔAHC
Karşılık gelen kenar oranı: AC / BC = HC / AC
Yerine yazalım: b / a = k / b
Çapraz çarpım: b² = a·k
Gösterildi: b² = k·a

(II) c² = p·a

Benzerlik: ΔABC ~ ΔABH
Karşılık gelen kenar oranı: AB / BC = BH / AB
Yerine yazalım: c / a = p / c
Çapraz çarpım: c² = a·p
Gösterildi: c² = p·a