9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 80-81 Cevapları Meb Yayınları 16. Sıra Sizde Tahterevalli Soruları

9. Sınıf Matematik (MEB 2. Kitap) – Sayfa 80-81 | 16. Sıra Sizde (Çözümlü)

a) Desteğin (CK) uzunluğu kaç cm’dir?

Tahta C noktasından destekleniyor. Tahtanın bir ucunun yerden yüksekliği, tahtanın C’ye olan uzaklığıyla orantılıdır (aynı eğimde olduğundan dikey yükseklikler, parça uzunluklarının aynı açıdaki sinüsle çarpımıdır).

Tahtanın C’ye olan uzaklıkları:

• AC = x
• CB = y
• CK = h (aranan)

Şekil 1: A yere değiyor, B’nin yüksekliği 120 cm

• C’nin yerden yüksekliği h
• C’den A’ya düşüş h
• C’den B’ye yükseliş 120 − h

Bu yüzden:

• h = x·sinθ
• 120 − h = y·sinθ

Oranlayalım: y / x = (120 − h) / h …(1)

Şekil 2: B yere değiyor, A’nın yüksekliği 60 cm

• C’nin yerden yüksekliği yine h
• C’den B’ye düşüş h
• C’den A’ya yükseliş 60 − h

Bu yüzden:

• h = y·sinφ
• 60 − h = x·sinφ

Oranlayalım: x / y = (60 − h) / h …(2)

(1) ve (2)’yi çarpalım:

• (y/x)·(x/y) = ((120 − h)/h)·((60 − h)/h)
• 1 = (120 − h)(60 − h) / h²
• (120 − h)(60 − h) = h²

Açalım:

• 120·60 − 120h − 60h + h² = h²
• 7200 − 180h = 0
• h = 7200 / 180 = 40

Desteğin uzunluğu: CK = 40 cm

b) Tahtarevalli eşit kollu olursa, A yere indiğinde B’nin yüksekliği kaç cm olur?

Eşit kollu demek: AC = CB (destek orta nokta olur).

A yere indiğinde, tahta C etrafında simetrik yükselir/iner:

• C’nin yerden yüksekliği CK = 40 cm (a şıkkından)
• Eşit kollu olduğunda diğer uç (B), C’nin yüksekliğinin iki katı kadar yukarıda olur.

Yani: B’nin yüksekliği = 2·CK = 2·40 = 80 cm

B ucunun yerden yüksekliği: 80 cm

c) Şekil 1’de |AK| = 30 cm iken tahta yatay dengede kalsın diye destek hangi uca doğru kaç cm kaydırılmalı?

Tahtanın zemine paralel (yatay) dengede kalması için destek, tahta parçasının orta noktasında olmalıdır (tahta düzgün/özdeş kabul edilir).

Önce Şekil 1’den parça oranını bulalım:
a şıkkından h = 40 olduğuna göre Şekil 1’de:

• C’den A’ya düşüş: h = 40
• C’den B’ye yükseliş: 120 − h = 80

Bu yükseklikler uzunluklarla orantılı olduğundan:

• CB / CA = 80 / 40 = 2
• Yani CB = 2·CA

Demek ki tahta CA : CB = 1 : 2 oranıyla bölünmüş.

Şimdi |AK| = 30 cm verilmiş.
Şekil 1’de A-K-C bir dik üçgen oluşturur:

• AK = 30
• CK = 40
• AC = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 cm

Yani:

• CA = 50 cm
• CB = 2·50 = 100 cm
• AB = 150 cm

Orta nokta, A’dan itibaren:
AB/2 = 150/2 = 75 cm uzaklıktadır.

Şu an destek noktası C, A’dan 50 cm uzaklıkta. Orta noktaya gelmesi için:
75 − 50 = 25 cm ilerlemelidir.
Destek, B ucuna doğru 25 cm kaydırılmalıdır.