10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 213-214-215 Cevapları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları

Sayfa 213 | 6. Uygulama

Genel Formdaki Karesel Fonksiyonların Tamkare Formuna Dönüştürülmesi

Soru: Tabloda cebirsel temsilleri f(x)=ax²+bx+c genel formunda verilen gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlara, tamkareye tamamlama işlemi uygulayınız.
Elde edilen tamkare formundan yararlanarak;

• Fonksiyonun grafiğini dönüşümlerle çiziniz,
• (Varsa) sıfırlarını bulunuz ve grafik üzerinde gösteriniz,
• Fonksiyonun işaretini belirleyiniz,
• Simetri doğrusunu ve maksimum–minimum noktasını bulunuz.

1) g(x)=x²−6x

Tamkareye Tamamlama

g(x)=x²−6x
g(x)=x²−6x+9−9
g(x)=(x−3)²−9

Fonksiyonun Sıfırları

(x−3)²−9=0
(x−3)²=9
x−3=±3

x=0 ve x=6

Fonksiyonun İşareti

• g(x)>0 : (−∞,0) ∪ (6,+∞)
• g(x)=0 : x=0 ve x=6
• g(x)<0 : (0,6)

Simetri Doğrusu – Minimum Noktası

• Simetri doğrusu: x=3
• Tepe noktası: (3,−9)
• Minimum değer: −9
• Maksimum değer: Yoktur

Grafik Yorumu

• Parabol yukarı doğru açılır.
• Grafik, 3 birim sağa, 9 birim aşağı ötelenmiştir.

2) h(x)=−x²+2x−1

Tamkareye Tamamlama

h(x)=−x²+2x−1
h(x)=−(x²−2x+1)
h(x)=−(x−1)²

Fonksiyonun Sıfırları

−(x−1)²=0
(x−1)²=0

x=1 (çift katlı kök)

Fonksiyonun İşareti

• h(x)=0 : x=1
• h(x)<0 : (−∞,1) ∪ (1,+∞)
• h(x)>0 : Yoktur

Simetri Doğrusu – Maksimum Noktası

• Simetri doğrusu: x=1
• Tepe noktası: (1,0)
• Maksimum değer: 0
• Minimum değer: Yoktur

Grafik Yorumu

• Parabol aşağı doğru açılır.
• Grafik, 1 birim sağa ötelenmiş ve x eksenine göre yansıtılmıştır.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 214 | 6. Uygulama

Soru: 1) m(x)=x²−4x+5 fonksiyonu için tabloda istenenleri yapınız.

Cevap: Tamkareye Tamamlama

m(x)=x²−4x+5
m(x)=x²−4x+4+1
m(x)=(x−2)²+1

Cevap: Sıfırları

(x−2)²+1=0
(x−2)²=−1 (gerçek sayılarda mümkün değil)
Bu nedenle m(x) fonksiyonunun gerçel kökü (sıfırı) yoktur.

Cevap: İşareti

(x−2)² ≥ 0 olduğu için (x−2)²+1 ≥ 1
m(x) her x için pozitiftir.
m(x) > 0, ∀x∈R

Cevap: Grafiği (kısa tarif)

• Parabol yukarı açılır.
• Tepe noktası: (2,1)
• Simetri ekseni: x=2

Soru: 2) Yukarıda cebirsel temsilleri verilen fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesini sağlayan nokta hakkındaki varsayımlarınızı yazınız.

Cevap: Karesel fonksiyonlarda artma-azalma aralıklarını belirleyen nokta tepe noktasıdır.

• a>0 ise parabol yukarı açılır, fonksiyon tepe noktasına kadar azalır, tepe noktasından sonra artar.
• a<0 ise parabol aşağı açılır, fonksiyon tepe noktasına kadar artar, tepe noktasından sonra azalır.

Tepe noktasının x değeri (simetri doğrusu): x=−b/(2a)

Soru: 3) Varsayımınızı kullanarak fonksiyonların artan-azalan aralıklarını ve maksimum-minimum noktasını/değerini tabloya yazınız.

Verilen fonksiyonlar: f(x)=x²+4x, g(x)=x²−6x, h(x)=−x²+2x−1, m(x)=x²−4x+5

Cevap (Tablo bilgileri):

1) f(x)=x²+4x

• Azalan: (−∞, −2]
• Artan: [−2, +∞)
• Minimum nokta: x=−2
• Minimum değer: f(−2)=−4
• Maksimum: Yoktur

2) g(x)=x²−6x

• Azalan: (−∞, 3]
• Artan: [3, +∞)
• Minimum nokta: x=3
• Minimum değer: g(3)=−9
• Maksimum: Yoktur

3) h(x)=−x²+2x−1=−(x−1)²

• Artan: (−∞, 1]
• Azalan: [1, +∞)
• Maksimum nokta: x=1
• Maksimum değer: h(1)=0
• Minimum: Yoktur

4) m(x)=x²−4x+5=(x−2)²+1

• Azalan: (−∞, 2]
• Artan: [2, +∞)
• Minimum nokta: x=2
• Minimum değer: m(2)=1
• Maksimum: Yoktur

Soru: 4) Aşağıda verilen problemi çözünüz.

Soru: a) x her bir 10 TL’lik fiyat artışını ifade etmek üzere müşteri sayısını ve kahvenin yeni fiyatını cebirsel olarak ifade ediniz.

Başlangıçta: Fiyat = 120 TL, Müşteri = 200 kişi

Fiyat her 10 TL artarsa, müşteri sayısı 20 kişi azalıyor.

Bu durumda x tane 10 TL’lik artış yapılırsa:

• Yeni fiyat: 120 + 10x
• Yeni müşteri sayısı: 200 − 20x

(x≥0 ve müşteri sayısı negatif olamayacağı için 200−20x ≥ 0 → x ≤ 10)

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 215 | 6. Uygulama

Soru: b) Elde ettiğiniz cebirsel ifadelerle kafe sahibinin bu kahveden elde edeceği gelir fonksiyonunu (g(x)) modelleyiniz.

Cevap: Kahvenin yeni fiyatı: 120 + 10x
Müşteri sayısı: 200 − 20x
Gelir fonksiyonu:
g(x) = (120 + 10x)(200 − 20x)
g(x) = 24000 − 400x − 200x²

Soru: c) g fonksiyonunu tamkareye tamamlama metodu ile g(x) = a(x + r)² + k şeklinde yazınız.

Cevap:
g(x) = −200x² − 400x + 24000
g(x) = −200(x² + 2x) + 24000
x² + 2x = (x + 1)² − 1 olduğundan:
g(x) = −200[(x + 1)² − 1] + 24000
g(x) = −200(x + 1)² + 200 + 24000
g(x) = −200(x + 1)² + 24200

Tamkare form: g(x) = −200(x + 1)² + 24200

Soru: ç) Elde ettiğiniz gelir fonksiyonundan yararlanarak kafe sahibinin kahveyi kaç TL’den satarsa maksimum gelire ulaşacağını hesaplayınız.

Cevap: g(x) = −200(x + 1)² + 24200 olduğundan maksimum, karesel terimin içi 0 iken olur:
(x + 1)² = 0 ⇒ x = −1

Fiyat = 120 + 10x = 120 + 10(−1) = 110 TL

Maksimum gelir için kahve fiyatı: 110 TL

Soru: d) Kafe sahibinin bu kahveden bir günde elde edeceği maksimum geliri bulunuz.

Cevap: Maksimum değer tamkare formda k değeridir:
Maksimum gelir: 24200 TL

(İsterseniz kontrol: Fiyat 110 TL, müşteri 220 kişi ⇒ 110 × 220 = 24200 TL)

Soru: 5) Fonksiyonun sıfırlarını, artan-azalan olduğu aralıkları ve maksimum-minimum noktalarını elde ederken kullandığınız tamkareye tamamlama, grafik temsilinden yararlanma ve çarpanlara ayırma yöntemlerini kullanışlılık açısından değerlendiriniz. Sonuçları sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.

• Tamkareye tamamlama: Tepe noktası (maksimum/minimum) ve en büyük/en küçük değer en hızlı ve en kesin şekilde bulunur.
• Grafik yöntemi: Görsel olarak anlaşılması kolaydır, fakat kesin değer okuma bazen zor olabilir.
• Çarpanlara ayırma: Sıfırları (kökleri) bulmada pratik olabilir; ancak her zaman kolay çarpanlara ayrılamaz.

Sonuç: Kesinlik gereken yerlerde tamkareye tamamlama, hızlı yorum için grafik, kök bulmak için çarpanlara ayırma daha kullanışlıdır.